Ajans Beşiktaş -  Almanya'da sezon öncesi hazırlık kampında Almanya'nın Allgau Karması'nı 3-0 yenerken her iki futbolcuda ilk 45 dakikada şans buldu ve Mehmet 42.dakikada takımının ikinci golünü attı.

Oyun stili ile dönemin Belçikalı yıldız futbolcusu Vincenzo Scifo’ya benzemesi nedeniyle, bu oyuncunun adı antrenörü tarafından lakap olarak takıldı. Futbol hayatı boyunca “Şifo Mehmet” olarak anılan Mehmet Özdilek Kahramanmaraşspor’daki performansıyla büyük takımların dikkatini çekti ve 1988-89 sezonunun başında Beşiktaş’a transfer oldu.

13 sezon boyunca aralıksız olarak Siyah-Beyazlı formayı giydi. Çalıştığı her teknik direktör tarafından ilk onbirin değişilmez ismi olarak kadroda yer verildi. Sadece John Toshack döneminde Galli teknik direktör ile bir sürtüşme yaşadı ve yedek kaldı.

Orta saha ve zaman zaman da forvette yer aldı. Kısa boyuna karşın zamanlaması ve futbol zekası ile sayısız kafa golüne imza atan Mehmet Özdilek, oynadığı 387 lig maçında 130 ve topşamda da 633 karşılaşmada 201 gol attı. Kariyerinde sadece bir kez kırmızı kart gördü. Mehmet bu kartı da 5 Şubat 1997’de, İnönü Stadı’ndaki 2-1’lik Fenerbahçe maçının 61. dakikasında gördü.

Beşiktaş formasıyla 4 Türkiye Ligi, 4 Türkiye Kupası, 4 Cumhurbaşkanlığı, 1 Başbakanlık Kupası şampiyonluğu yaşayan Şifo Mehmet 31 kez A, 7 kez de Olimpik Milli Takımı olmak üzere 38 kez milli formayı giydi.

Beşiktaş'a 1988-89 sezonunda Queens Park Rangers takımından gelen İngiliz futbolcu Les Ferdinand ise takımda bir yıl kalmasına ve şampiyonluk görememesine rağmen taraftarların sevgilisi oldu. Sezon sonunda İngiltere'ye, eski takımına geri döndü.